Fungsi rasional adalah persamaan yang mengambil bentuk y = N (x) / D (x) di mana N dan D adalah polinomial. Mencuba membuat lakaran grafik yang tepat satu dengan tangan boleh menjadi tinjauan menyeluruh mengenai banyak topik matematik sekolah menengah yang paling penting dari algebra asas hingga kalkulus pembezaan. Pertimbangkan contoh berikut: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Langkah-langkah
Langkah 1. Cari pintasan y
Cukup tetapkan x = 0. Segala sesuatu kecuali istilah tetap akan hilang, meninggalkan y = 5/2. Menyatakan ini sebagai pasangan koordinat, (0, 5/2) adalah titik pada grafik. Grafkan titik itu.
Langkah 2. Cari asimptot mendatar
Bahagikan panjang penyebut menjadi pembilang untuk menentukan kelakuan y untuk nilai mutlak besar x. Dalam contoh ini, pembahagian menunjukkan bahawa y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Untuk nilai positif atau negatif besar x, 17 / (8 x + 4) menghampiri sifar, dan graf mendekati garis y = (1/2) x - (7/4). Dengan menggunakan garis putus-putus atau dilukis dengan ringan, tandakan garis ini.
- Sekiranya darjah pembilangnya kurang daripada darjah penyebutnya, tidak ada pembahagian yang harus dilakukan, dan asimptotnya adalah y = 0.
- Sekiranya deg (N) = deg (D), asimptot adalah garis mendatar pada nisbah pekali utama.
- Sekiranya deg (N) = deg (D) + 1, asimptot adalah garis yang cerunnya adalah nisbah pekali utama.
- Sekiranya deg (N)> deg (D) + 1, maka untuk nilai besar | x |, y dengan cepat menuju ke infiniti positif atau negatif sebagai polinomial darjah kuadratik, kubik, atau lebih tinggi. Dalam kes ini, mungkin tidak berbaloi untuk membuat graf bagi bahagian dengan tepat.
Langkah 3. Cari sifar
Fungsi rasional mempunyai sifar ketika pengangkanya adalah sifar, jadi tetapkan N (x) = 0. Dalam contohnya, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Pembeza kuadratik ini adalah b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Oleh kerana diskriminasi adalah negatif, N (x), dan akibatnya f (x), tidak mempunyai akar yang sebenarnya. Grafik tidak pernah melintasi paksi-x. Sekiranya terdapat angka nol, tambahkan titik tersebut ke grafik.
Langkah 4. Cari asimptot menegak
Asimptot menegak berlaku apabila penyebutnya adalah sifar. Menetapkan 4 x + 2 = 0 memberikan garis menegak x = -1/2. Grafkan setiap asimptot menegak dengan garis cahaya atau putus-putus. Sekiranya beberapa nilai x menjadikan kedua-dua N (x) = 0 dan D (x) = 0, mungkin terdapat atau tidaknya asimptot menegak di sana. Perkara ini jarang berlaku, tetapi lihat petua bagaimana menanganinya jika ia berlaku.
Langkah 5. Lihat bahagian yang tinggal di langkah 2
Bilakah positif, negatif, atau sifar? Dalam contohnya, pengangka selebihnya adalah 17 yang selalu positif. Penyebutnya, 4 x + 2, positif di sebelah kanan asimtot menegak dan negatif ke kiri. Ini bermaksud bahawa graf menghampiri asimptot linear dari atas untuk nilai positif besar x dan dari bawah untuk nilai negatif besar x. Oleh kerana 17 / (8 x + 4) tidak boleh menjadi sifar, graf ini tidak pernah memotong garis y = (1/2) x - (7/4). Jangan tambahkan apa-apa pada grafik sekarang, tetapi perhatikan kesimpulan ini untuk kemudian.
Langkah 6. Cari ekstrem tempatan
Ekstrim lokal mungkin berlaku setiap kali N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Dalam contohnya, N '(x) = 4 x - 6 dan D' (x) = 4 N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Memperluas, menggabungkan istilah, dan membahagi dengan 4 daun x 2 + x - 4 = 0. Formula kuadratik menunjukkan akar berhampiran x = 3/2 dan x = -5/2. (Ini berbeza kira-kira 0,06 dari nilai yang tepat, tetapi grafik kami tidak akan cukup tepat untuk membimbangkan tahap perincian itu. Memilih pendekatan rasional yang baik menjadikan langkah seterusnya lebih mudah.)
Langkah 7. Cari nilai-y bagi setiap ekstrem tempatan
Pasang nilai-x dari langkah sebelumnya kembali ke fungsi rasional asal untuk mencari nilai-y yang sesuai. Dalam contoh, f (3/2) = 1/16 dan f (-5/2) = -65/16. Tambahkan titik ini, (3/2, 1/16) dan (-5/2, -65/16), ke grafik. Oleh kerana kita menghampiri langkah sebelumnya, ini bukan minimum dan maksimum, tetapi mungkin dekat. (Kami tahu (3/2, 1/16) sangat dekat dengan minimum tempatan. Dari langkah 3, kami tahu bahawa y selalu positif ketika x> -1/2 dan kami mendapati nilai sekecil 1/16, jadi sekurang-kurangnya dalam kes ini, kesalahan mungkin lebih kecil daripada ketebalan garis.)
Langkah 8. Sambungkan titik-titik dan panjangkan grafik dengan lancar dari titik yang diketahui ke asimptot dengan berhati-hati untuk menghampirinya dari arah yang betul
Berhati-hatilah untuk tidak menyeberangi x-xis kecuali pada titik-titik yang telah dijumpai di langkah 3. Jangan melintasi asimtot mendatar atau linier kecuali pada titik-titik yang telah dijumpai di langkah 5. Jangan ubah dari miring ke atas ke miring ke bawah kecuali pada ekstrem yang terdapat pada langkah sebelumnya.
Video - Dengan menggunakan perkhidmatan ini, beberapa maklumat dapat dikongsi dengan YouTube
Petua
- Beberapa langkah ini mungkin melibatkan penyelesaian polinomial darjah tinggi. Sekiranya anda tidak dapat mencari penyelesaian yang tepat melalui pemfaktoran, formula, atau cara lain, maka anggarkan penyelesaiannya menggunakan teknik berangka seperti kaedah Newton.
- Sekiranya anda mengikuti langkah-langkahnya, biasanya tidak perlu menggunakan ujian turunan kedua atau kaedah yang serupa yang mungkin rumit untuk menentukan sama ada nilai kritikal adalah maksimum tempatan, minimum tempatan, atau tidak. Cuba gunakan maklumat dari langkah sebelumnya dan sedikit logik terlebih dahulu.
- Sekiranya anda mencuba melakukan ini dengan kaedah prekalkulus sahaja, anda boleh mengganti langkah mencari ekstrem tempatan dengan mengira beberapa pasangan tambahan (x, y) yang diperintahkan di antara setiap pasangan asimptot. Sebagai alternatif, jika anda tidak peduli mengapa ia berfungsi, tidak ada sebab mengapa pelajar prekalkulus tidak dapat mengambil turunan polinomial dan menyelesaikan N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Dalam kes yang jarang berlaku, pengangka dan penyebutnya mungkin mempunyai faktor tidak tetap yang sama. Sekiranya anda mengikuti langkah-langkah, ini akan muncul sebagai tanda kosong dan sifar tegak di tempat yang sama. Itu mustahil dan apa yang sebenarnya berlaku adalah salah satu daripada yang berikut:
- Nol di N (x) mempunyai darab yang lebih tinggi daripada sifar di D (x). Graf f (x) menghampiri sifar pada ketika ini, tetapi tidak ditentukan di sana. Nyatakan ini dengan bulatan terbuka di sekitar titik.
- Sifar di N (x) dan sifar di D (x) mempunyai darab yang sama. Grafik mendekati titik bukan sifar untuk nilai x ini, tetapi tidak ditentukan di sana. Sekali lagi menunjukkan ini dengan bulatan terbuka.
- Nol di N (x) mempunyai darab lebih rendah daripada sifar di D (x). Terdapat asimptot menegak di sini.
