Cara Membuat Grafik Persamaan Kuadratik: 10 Langkah (dengan Gambar)

2024 Pengarang: Robert Blare | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-02-02 02:07

Apabila dilakar, persamaan kuadratik bentuk kapak² + bx + c atau a (x - j)² + k berikan kelengkungan berbentuk U yang licin atau terbalik berbentuk U yang disebut parabola. Melukis persamaan kuadratik adalah mencari titik, arah, dan, selalunya, pintasan x dan ynya. Dalam kes persamaan kuadratik yang relatif sederhana, mungkin cukup untuk memasukkan julat nilai x dan merancang lengkung berdasarkan titik yang dihasilkan. Lihat Langkah 1 di bawah untuk memulakan.

Langkah-langkah

Langkah 1. Tentukan bentuk persamaan kuadratik yang anda miliki

Persamaan kuadratik dapat ditulis dalam tiga bentuk yang berbeza: bentuk piawai, bentuk bucu, dan bentuk kuadratik. Anda boleh menggunakan salah satu bentuk untuk membuat grafik persamaan kuadratik; proses untuk membuat grafik masing-masing sedikit berbeza. Sekiranya anda membuat masalah kerja rumah, anda biasanya akan menerima masalah dalam salah satu daripada dua bentuk ini - dengan kata lain, anda tidak akan dapat memilih, jadi lebih baik anda memahami kedua-duanya. Dua bentuk persamaan kuadratik adalah:

• Bentuk standard.

  Dalam bentuk ini, persamaan kuadratik ditulis sebagai: f (x) = ax² + bx + c di mana a, b, dan c adalah nombor nyata dan a tidak sama dengan sifar.

  Sebagai contoh, dua persamaan kuadratik bentuk standard ialah f (x) = x² + 2x + 1 dan f (x) = 9x² + 10x -8.

• Bentuk tegak.

  Dalam bentuk ini, persamaan kuadratik ditulis sebagai: f (x) = a (x - h)² + k di mana a, h, dan k adalah nombor nyata dan a tidak sama dengan sifar. Bentuk verteks dinamakan demikian kerana h dan k secara langsung memberi anda bucu (titik tengah) parabola anda pada titik (h, k).

  Dua persamaan bentuk bucu ialah f (x) = 9 (x - 4)² + 18 dan -3 (x - 5)² + 1

• Untuk membuat graf salah satu jenis persamaan ini, pertama kita perlu mencari titik puncak parabola, yang merupakan titik tengah (h, k) di "hujung" lengkung. Koordinat bucu dalam bentuk piawai diberikan oleh: h = -b / 2a dan k = f (h), sementara dalam bentuk bucu, h dan k ditentukan dalam persamaan.

Langkah 2. Tentukan pemboleh ubah anda

Untuk dapat menyelesaikan masalah kuadratik, pemboleh ubah a, b, dan c (atau a, h, dan k) biasanya perlu ditentukan. Masalah aljabar rata-rata akan memberi anda persamaan kuadratik dengan pemboleh ubah yang diisi, biasanya dalam bentuk standard, tetapi kadang-kadang dalam bentuk bucu.

• Contohnya, untuk persamaan bentuk piawai f (x) = 2x² + 16x + 39, kita mempunyai = 2, b = 16, dan c = 39.
• Untuk persamaan bentuk bucu f (x) = 4 (x - 5)² + 12, kita mempunyai = 4, h = 5, dan k = 12.

Langkah 3. Kira h

Dalam persamaan bentuk bucu, nilai h anda sudah diberikan, tetapi dalam persamaan bentuk piawai, ia mesti dikira. Ingatlah bahawa, untuk persamaan bentuk piawai, h = -b / 2a.

• Dalam contoh bentuk standard kami (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Selesaikan, kita dapati bahawa h = - 4.
• Dalam contoh bentuk bucu kita (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), kita tahu h = 5 tanpa melakukan sebarang matematik.

Langkah 4. Kira k

Seperti h, k sudah dikenali dalam persamaan bentuk bucu. Untuk persamaan bentuk piawai, ingat bahawa k = f (h). Dengan kata lain, anda boleh mencari k dengan mengganti setiap contoh x dalam persamaan anda dengan nilai yang baru anda temukan untuk h.

• Kami telah menentukan dalam contoh bentuk standard kami bahawa h = -4. Untuk mencari k, kami menyelesaikan persamaan kami dengan nilai kami untuk h menggantikan x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Langkah 7.

• Dalam contoh bentuk bucu kita, sekali lagi, kita mengetahui nilai k (iaitu 12) tanpa perlu melakukan sebarang matematik.

Langkah 5. Petak bucu anda

Bucu parabola anda akan menjadi titik (h, k) - h menentukan koordinat x, sementara k menentukan koordinat y. Bucu adalah titik tengah parabola anda - sama ada bahagian bawah "U" atau bahagian atas "U" terbalik. Mengetahui bucu adalah bahagian penting dalam membuat grafik parabola yang tepat - selalunya, dalam kerja sekolah, menentukan bucu akan menjadi bahagian soalan yang diperlukan.

• Dalam contoh bentuk standard kami, bucu kita akan berada di (-4, 7). Jadi, parabola kami akan memuncak 4 ruang di sebelah kiri 0 dan 7 ruang di atas (0, 0). Kita harus meletakkan titik ini pada grafik kita, dengan pasti melabel koordinat.
• Dalam contoh bentuk bucu kita, bucu kita berada di (5, 12). Kita harus merancang titik 5 ruang di sebelah kanan dan 12 ruang di atas (0, 0).

Langkah 6. Lukiskan paksi parabola (pilihan)

Paksi simetri parabola adalah garis yang melintasi tengahnya yang membelahnya dengan sempurna menjadi dua. Di seberang paksi ini, bahagian kiri parabola akan mencerminkan sisi kanan. Untuk kuadratik bentuk kapak² + bx + c atau a (x - h)² + k, paksi adalah garis selari dengan paksi-y (dengan kata lain, tegak sempurna) dan melewati bucu.

Dalam contoh contoh bentuk standard kami, paksi adalah garis selari dengan paksi-y dan melewati titik (-4, 7). Walaupun ia bukan bahagian dari parabola itu sendiri, menandakan garis ini dengan ringan pada graf anda akhirnya dapat membantu anda melihat bagaimana parabola melengkung secara simetri

Langkah 7. Cari arah bukaan

Setelah mengetahui titik dan paksi parabola, kita seterusnya perlu mengetahui sama ada parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Nasib baik, ini mudah. Sekiranya "a" positif, parabola akan terbuka ke atas, sementara jika "a" negatif, parabola akan terbuka ke bawah (iaitu, ia akan terbalik.)

• Untuk contoh bentuk standard kami (f (x) = 2x² + 16x + 39), kita tahu bahawa kita mempunyai parabola yang terbuka ke atas kerana, dalam persamaan kita, a = 2 (positif).
• Untuk contoh bentuk bucu kita (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), kita tahu kita juga mempunyai parabola yang terbuka ke atas kerana a = 4 (positif).

Langkah 8. Sekiranya perlu, cari dan plotkan pintasan x

Selalunya, semasa kerja sekolah, anda akan diminta untuk mencari pintasan x parabola (yang mana satu atau dua titik di mana parabola memenuhi paksi x). Walaupun anda tidak menjumpainya, kedua-dua perkara ini sangat berharga untuk menggambar parabola yang tepat. Walau bagaimanapun, tidak semua parabola mempunyai pintasan-x. Sekiranya parabola anda mempunyai bucu terbuka ke atas dan mempunyai bucu di atas paksi x atau jika terbuka ke bawah dan mempunyai bucu di bawah paksi x, ia tidak akan mempunyai pintasan x. Jika tidak, selesaikan pintasan x anda dengan salah satu kaedah berikut:

• Cukup tetapkan f (x) = 0 dan selesaikan persamaannya. Kaedah ini mungkin berfungsi untuk persamaan kuadratik sederhana, terutamanya dalam bentuk bucu, tetapi akan terbukti sangat sukar bagi yang lebih rumit. Lihat di bawah untuk contoh

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 dan 13 adalah pintasan-x parabola.

• Faktorkan persamaan anda. Beberapa persamaan di kapak² Bentuk + bx + c dapat difaktorkan dengan mudah ke dalam bentuk (dx + e) (fx + g), di mana dx × fx = kapak², (dx × g + fx × e) = bx, dan e × g = c. Dalam kes ini, pintasan x anda adalah nilai untuk x yang menjadikan salah satu istilah dalam tanda kurung = 0. Contohnya:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Dalam kes ini, satu-satunya pintasan x anda adalah -1 kerana menetapkan x sama dengan -1 akan menjadikan salah satu istilah faktor dalam kurungan sama dengan 0.

• Gunakan formula kuadratik. Sekiranya anda tidak dapat menyelesaikan persilangan x dengan mudah atau memperhitungkan persamaan anda, gunakan persamaan khas yang disebut formula kuadratik yang direka untuk tujuan ini. Sekiranya belum, masukkan persamaan anda ke bentuk kapak² + bx + c, kemudian pasangkan a, b, dan c ke dalam formula x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Perhatikan bahawa ini sering memberi anda dua jawapan untuk x, yang mana betul - ini bermakna parabola anda mempunyai dua pintasan x. Lihat di bawah untuk contoh:

  • -5x² + 1x + 10 dimasukkan ke dalam formula kuadratik seperti berikut:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
  • x = (13.18 / -10) dan (-15.18 / -10). Pintas x parabola berada pada kira-kira x = - 1.318 dan 1.518
  • Contoh bentuk standard kami sebelumnya, 2x² + 16x + 39 dimasukkan ke dalam formula kuadratik seperti berikut:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
  • Kerana tidak dapat mencari punca kuasa dua nombor negatif, kita tahu itu tiada x memintas wujud untuk parabola ini.

Langkah 9. Sekiranya perlu, cari dan plot pintasan y

Walaupun selalunya tidak diperlukan untuk mencari pintasan y persamaan (titik di mana parabola melewati paksi y), anda mungkin diminta, terutama jika anda berada di sekolah. Proses ini agak mudah - tetapkan x = 0, kemudian selesaikan persamaan anda untuk f (x) atau y, yang memberi anda nilai y di mana parabola anda melewati paksi y. Tidak seperti pintasan x, parabola standard hanya boleh mempunyai satu pintasan. Catatan - untuk persamaan bentuk piawai, pintasan y adalah pada y = c.

• Sebagai contoh, kita mengetahui persamaan kuadratik kita 2x² + 16x + 39 mempunyai pintasan y pada y = 39, tetapi juga boleh didapati seperti berikut:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. pintasan y parabola berada pada y = 39.

    Seperti yang dinyatakan di atas, pintasan y berada pada y = c.

• Persamaan bentuk bucu kita 4 (x - 5)² + 12 mempunyai pintasan y yang dapat dijumpai seperti berikut:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. pintasan y parabola berada pada y = 112.

Langkah 10. Sekiranya perlu, petak titik tambahan, kemudian graf

Anda sekarang harus mempunyai titik puncak, arah, pintasan x, dan, mungkin, pintasan y untuk persamaan anda. Pada ketika ini, anda boleh mencuba melukis parabola anda dengan menggunakan titik yang anda miliki sebagai garis panduan, atau anda dapat mencari lebih banyak titik untuk "mengisi" parabola anda supaya lengkung yang anda lukis lebih tepat. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan memasukkan beberapa nilai x di kedua sisi bucu anda, kemudian plotkan titik-titik ini menggunakan nilai y yang anda perolehi. Selalunya, guru akan meminta anda memperoleh sejumlah mata sebelum anda melukis parabola anda.

• Mari kita lihat semula persamaan x² + 2x + 1. Kita sudah tahu satu-satunya pintasan x adalah pada x = -1. Kerana hanya menyentuh pintasan x pada satu titik, kita dapat menyimpulkan bahawa bucunya adalah pintasan x, yang bermaksud bucunya adalah (-1, 0). Kami secara efektif hanya mempunyai satu titik untuk parabola ini - tidak cukup untuk menggambar parabola yang baik. Mari cari beberapa lagi untuk memastikan kita membuat graf yang tepat.

  • Mari cari nilai y untuk nilai x berikut: 0, 1, -2, dan -3.
  • Untuk 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Maksud kami ialah (0, 1).

  • Untuk 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Maksud kami ialah (1, 4).

  • Untuk -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Maksud kami ialah (-2, 1).

  • Untuk -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Maksud kami ialah (-3, 4).

  • Letakkan titik-titik ini ke grafik dan lukiskan lengkung berbentuk U anda. Perhatikan bahawa parabola betul-betul simetris - apabila titik anda di satu sisi parabola terletak pada nombor bulat, anda biasanya dapat menyelamatkan beberapa pekerjaan dengan hanya mencerminkan titik tertentu di seberang paksi simetri parabola untuk mencari titik yang sesuai di sisi lain parabola.

Video - Dengan menggunakan perkhidmatan ini, beberapa maklumat dapat dikongsi dengan YouTube

Petua

• Perhatikan bahawa dalam f (x) = ax² + bx + c, jika b atau c sama dengan sifar, nombor tersebut akan hilang. Contohnya, 12x² + 0x + 6 menjadi 12x² + 6 kerana 0x adalah 0.
• Nombor bulat atau gunakan pecahan seperti yang disuruh oleh guru algebra anda. Ini akan membantu anda membuat grafik persamaan kuadratik anda dengan betul.